【题解】nowcoder-203F-Palindrome

题目

https://www.nowcoder.com/acm/contest/203/F

题意

求字符串 \(s\) 中选取两个非空子串连接成回文串的方案数。

题解

  • 这题很类似
  • 假设选取的串是 \(p+s\)\(s'\),其中 \(p\) 是回文串,\(s'\)\(s\) 的反串且 \(s\) 非空,\(p\) 可以为空。答案就是原串的方案数 + 反串的方案数减去一些什么。(一些什么就是选取的串是 \(s\)\(s'\),这种情况下被算了两次)
  • 枚举 \(p\)\(s\) 的交界处 \(i\),用回文自动机求出以 \(i\) 结尾的回文串的个数 \(pcnt\),用广义后缀自动机求出 \(i+1\) 开始的后缀和反串的所有后缀的 LCP 之和 \(scnt\),那么交界 \(i\) 的贡献就是 \(pcnt \times scnt\)。具体来说就是 \(i+1\) 开始的后缀和反串所有后缀的结点的 LCA 的能表示的最长串的和。
  • 考虑求一条链和若干条链的 LCA 之和,这是一个经典问题,把那若干条链到根的路径上都贡献次数 1(其实就是获得每个结点的 \(EndPos\) 的大小),那么只需要求询问的链到根的和。这部分在 \(O(n)\) 预处理后可以 \(O(1)\) 查询。
  • 总复杂度 \(O(n)\)
  • 注意答案会爆 LL。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
#define FOR(i, x, y) for (decay<decltype(y)>::type i = (x), _##i = (y); i < _##i; ++i)
#define FORD(i, x, y) for (decay<decltype(x)>::type i = (x), _##i = (y); i > _##i; --i)
#ifdef zerol
#define dbg(x...) do { cout << "\033[32;1m" << #x << " -> "; err(x); } while (0)
#else
#define dbg(...)
#endif
void err() { cout << "\033[39;0m" << endl; }
template<template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(T<t> a, A... x) { for (auto v: a) cout << v << ' '; err(x...); }
template<typename T, typename... A>
void err(T a, A... x) { cout << a << ' '; err(x...); }
// -----------------------------------------------------------------------------
const int N = 8E5 + 100;
char s[N];
int n;

template<typename T>
void o(T p) {
static int stk[70], tp;
if (p == 0) { putchar('0'); return; }
if (p < 0) { p = -p; putchar('-'); }
while (p) stk[++tp] = p % 10, p /= 10;
while (tp) putchar(stk[tp--] + '0');
}

namespace pam {
int t[N][26], fa[N], len[N], rs[N], cnt[N], num[N];
int sz, n, last;
int _new(int l) {
memset(t[sz], 0, sizeof t[0]);
len[sz] = l; cnt[sz] = num[sz] = 0;
return sz++;
}
void init() {
rs[n = sz = 0] = -1;
last = _new(0);
fa[last] = _new(-1);
}
int get_fa(int x) {
while (rs[n - 1 - len[x]] != rs[n]) x = fa[x];
return x;
}
void ins(int ch) {
rs[++n] = ch;
int p = get_fa(last);
if (!t[p][ch]) {
int np = _new(len[p] + 2);
num[np] = num[fa[np] = t[get_fa(fa[p])][ch]] + 1;
t[p][ch] = np;
}
++cnt[last = t[p][ch]];
}
}

namespace sam {
int t[N][26], len[N] = {-1}, fa[N], sz = 2, last = 1;
LL cnt[N][2];
void init() {
memset(t, 0, (sz + 10) * sizeof t[0]);
memset(cnt, 0, (sz + 10) * sizeof cnt[0]);
sz = 2;
last = 1;
}
void reset() { last = 1; }
void ins(int ch, int id) {
int p = last, np = 0, nq = 0, q = -1;
if (!t[p][ch]) {
np = sz++;
len[np] = len[p] + 1;
for (; p && !t[p][ch]; p = fa[p]) t[p][ch] = np;
}
if (!p) fa[np] = 1;
else {
q = t[p][ch];
if (len[p] + 1 == len[q]) fa[np] = q;
else {
nq = sz++; len[nq] = len[p] + 1;
memcpy(t[nq], t[q], sizeof t[0]);
fa[nq] = fa[q];
fa[np] = fa[q] = nq;
for (; t[p][ch] == q; p = fa[p]) t[p][ch] = nq;
}
}
last = np ? np : nq ? nq : q;
cnt[last][id] = 1;
}
int c[N] = {1}, a[N];
LL sum[N];
void rsort() {
FOR (i, 1, sz) c[i] = 0;
FOR (i, 1, sz) c[len[i]]++;
FOR (i, 1, sz) c[i] += c[i - 1];
FOR (i, 1, sz) a[--c[len[i]]] = i;
FORD (i, sz - 1, 0) {
int u = a[i];
cnt[fa[u]][0] += cnt[u][0];
}
FOR (i, 2, sz) {
int u = a[i];
sum[u] = sum[fa[u]] + cnt[u][0] * 1LL * (len[u] - len[fa[u]]);
}
}
}

int pos[N];
__int128 Z;
__int128 go() {
sam::init(); pam::init();
FOR (i, 0, n) sam::ins(s[i] - 'a', 0);
sam::reset();
FORD (i, n - 1, -1) {
sam::ins(s[i] - 'a', 1);
pos[i] = sam::last;
}
sam::rsort();
__int128 ans = 0;
FOR (i, -1, n) {
LL pcnt = 1;
if (i != -1) {
pam::ins(s[i] - 'a');
pcnt += pam::num[pam::last];
}
LL scnt = 0;
if (i != n - 1) scnt += sam::sum[pos[i + 1]];
ans += (__int128)pcnt * scnt;
}
Z = 0; FOR (i, 0, n) Z += sam::sum[pos[i]];
return ans;
}

int main() {
#ifdef zerol
freopen("inin", "r", stdin);
#endif
scanf("%d%s", &n, s);
__int128 ans = go();
reverse(s, s + n);
o(ans + go() - Z); puts("");
}
w