算法 - 后缀自动机 & 回文自动机

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写这篇文章的用意主要是记录一下我曾经学会过 SAM。

后缀自动机

主要学习资料

  • SAM 是一种确定有限状态自动机 (DFA)，它能够接受所有字符串的所有后缀。
  • 重要的信息有 $tranc(x, c)$ 和 $fa(x)$，有两种理解方式：
    • 自动机形态
      • $tranc(x,c)$ 为状态 $x$ 接受字符 $c$ 后到达的状态
      • $fa(x)$ 是 $right(x)$ 的超集中最小的所对应的状态
    • 后缀树形态（逆序）
      • $fa(x)$ 是 $x$ 的父节点
      • $tranc(x,c)$ 是 $x$ 对应的后缀在首部增加字符 $c$ 后所形成的后缀在树中对应的结点
  • 无论那种理解方式，反正可以互相转换。鉴于后缀树更为直观、简洁，那么就以这种方式来描述。
  • 对于一个字符串 $s(|s|=n)$，建立它的后缀 trie，就形成了它的后缀树，但这样效率和空间都很糟糕。如果对 trie 中的单链进行压缩，那么可以证明，结点个数是 $O(n)$ 的。（证明：借用虚树复杂的证明，$n$ 个叶节点都是关键点，而关键点两两之间的 LCA 不超过 $n-1$，所以总的结点数不超过 $2n-1$ 个。）
  • 接下来的关键是如何在线性时间内构造一棵压缩后的后缀树。
  • 先给张图，未完待续。

一些性质

  • $fa$ 指针组成的是反串的后缀树，当然是树了。$tranc$ 指针组成的是 DFA，所以是一个有向无环图（DAG），存在拓扑序。
  • $tranc$ 指针使 $len$ 增加，$fa$ 指针使 $len$ 减少。
  • 关键点（红色标记）自带一个 $EndPos$，然后每个结点的 $EndPos$ 集合是自己和子节点的 $EndPos$ 集合的并集，且子节点以及本身的 $EndPos$ 集合之间没有交集。
  • 接受状态是 $last$ 状态到根的链上的所有状态。
  • $len$ 的大小是父节点的 $len$ 加上父边压缩的字符数。
  • $[len_{min},len_{max}]$ 的区间大小是由 $tranc$ 转移过来的状态的区间大小之和。

一些套路

  • 如果要快速找到一个子串对应的状态，可以在后缀树上倍增。比如要找 [l, r] 的子串，那么找到 [1, r] 逆序的所在的关键点，然后往上爬 l - 1 个长度。
  • $cnt$ 表示该状态的 $EndPos$ 集合的大小，可以在建完自动机后累加得到。
  • 如果要进行多串匹配的话，不妨使用广义后缀自动机，往往会简单一些。
  • 如果可以离线，可以用树上启发式合并得到每个点的 EndPos 集合。
  • 如果要维护 EndPos 相关的信息，来一发 LCT。
  • 获取拓扑序可以按照 $len$ 进行基数排序。
  • 为了某个状态具体的字符串内容，可以记录 $EndPos$ 中的某一个元素。

回文自动机

相比后缀自动机，还是简单不少的。

与后缀自动机的一些不同：

  • 一个结点只表示一个回文串，这个特性会带来极大的方便。
  • 对于 $tranc$ 边来说，奇数和偶数都是树的形式。
  • 多了一个 $num$ 表示状态对应的回文串的后缀中回文串的个数（以 $fa$ 为边的树的深度）。
  • $tranc$ 边很可能比 $fa$ 边有用。

与后缀自动机的一些相同：

  • $fa$ 指针使 $len$ 减少。
  • $cnt$ 的含义和计算方法相同。