【题解】GYM-102129A-Tritwise Mex

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题目

2018-2019 Winter Petrozavodsk Camp, Oleksandr Kulkov Contest 1

题意

\(C_k = \sum_{mex_3(i,j)=k} A_i B_j\)，其中 \(mex_3\) 是三进制意义下按位取 \(mex\)（其中 \(mex(x,y)\) 的值等同于和 \(x\) 以及 \(y\) 都不相等的最小非负整数）。

题解

官方题解可以在这里找到。

  • 首先要会 FWT，可以参考这个。
  • 然后把这个写出来，其实写一下那个 \(mex\) 的值的表格会更清楚。

\[ \begin{eqnarray} c_0 &=& a_1b_2 + a_2b_1 + a_1b_1 + a_2b_2\\ c_1 &=& a_0b_0 + a_0b_2 + a_2b_0 \\ c_2 &=& a_0b_1 + a_1b_0 \end{eqnarray} \]

  • 然后开始凑（目标用 \(c\) 就是凑出完全一直的两个关于 \(a\) 和 \(b\) 的式子的积），发现只能凑出前两个，于是不得不加两项，还搞出了一个 \(c_3\)。

\[ \begin{eqnarray} c_0 &=& (a_1+a_2)(b_1+b_2) \\ c_0 + c_1 + c_2 &=& (a_0 + a_1 + a_2)(b_0 + b_1 + b_2) \\ c_3 &=& a_2b_2 \\ c_1 + c_3 &=& (a_0 + a_2)(b_0 + b_2) \end{eqnarray} \]

  • 然后就仿照 FWT，但是现在是一个四进制的问题，首先把原来的三进制转成四进制，如果有一位的值是 3 的话那就是多出来的，系数是无所谓。再补充一下，大概就是三进制转四进制然后求积最后在转回三进制。

代码（这里放的是一份会 MLE 的代码。强行卡空间的代码太难看了就不放了。另外，SB 出题人卡内存。）

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
#define FOR(i, x, y) for (decay<decltype(y)>::type i = (x), _##i = (y); i < _##i; ++i)
#define FORD(i, x, y) for (decay<decltype(x)>::type i = (x), _##i = (y); i > _##i; --i)
#ifdef zerol
#define dbg(x...) do { cout << "\033[32;1m" << #x << " -> "; err(x); } while (0)
void err() { cout << "\033[39;0m" << endl; }
template<template<typename...> class T, typename t, typename... A>
void err(T<t> a, A... x) { for (auto v: a) cout << v << ' '; err(x...); }
template<typename T, typename... A>
void err(T a, A... x) { cout << a << ' '; err(x...); }
#else
#define dbg(...)
#endif
// -----------------------------------------------------------------------------
const int N = 1 << 24;
LL A[N];
LL B[N];
LL k, _n, n;

LL f(LL x) {
    LL ret = 0, c = 1;
    while (x) {
        ret += c * (x % 3);
        x /= 3;
        c *= 4;
    }
    return ret;
}

template<typename T>
void fwt(LL a[N], LL n, T f) {
    for (LL d = 1; d < n; d *= 4)
        for (LL i = 0, t = d * 4; i < n; i += t)
            FOR (j, 0, d)
                f(a[i + j], a[i + j + d], a[i + j + 2 * d], a[i + j + 3 * d]);
}


void go(LL& a, LL& b, LL& c, LL& d) {
    LL x0 = a, x1 = b, x2 = c, x3 = d;
    a = x1 + x2;
    b = x0 + x1 + x2;
    c = x0 + x2;
    d = x2;
}


void rgo(LL& a, LL& b, LL& c, LL& d) {
    LL x0 = a, x1 = b, x2 = c, x3 = d;
    a = x0;
    b = x2 - x3;
    c = x1 - x0 - x2 + x3;
}

int main() {
    cin >> k;
    _n = n = 1;
    FOR (_, 0, k) {
        _n *= 3; n *= 4;
    }
    FOR (i, 0, _n) scanf("%lld", &A[f(i)]);
    FOR (i, 0, _n) scanf("%lld", &B[f(i)]);
    fwt(A, n, go); fwt(B, n, go);
    FOR (i, 0, n) A[i] = A[i] * B[i];
    fwt(A, n, rgo);
    FOR (i, 0, _n) {
        printf("%lld%c", A[f(i)], i == _i - 1 ? '\n' : ' ');
    }
}