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【题解】CF-GYM-Deep Purple

题目

2015-2016 Petrozavodsk Winter Training Camp, Moscow SU Trinity Contest

题意

给一个字符串 $s$,对于每一个 $[l, r]$ 的询问,求最大的 $k(k\leqslant r-l)$ 使得 $s[l\cdots l+k] = s[r-k \cdots r]=t$。

题解

解法 1

  • 建立后缀树。
  • 对于一个询问 $[l, r]$,$t$ 一定在 $s[1\cdots r]$ 对应的结点到根的路径上,如果能找到最大的小于 $r$ 的 $p$($p$ 是某个前缀的对应结点),使得 $p$ 和 $t$ 的 LCA 对应的长度大于等于 $p - l+1$,于是便找到了这个询问的答案 $k=p-l+1$。
  • 具体实现:
    • 对后缀树树链剖分。
    • 按询问右端点排序,$p$ 从 $s$ 末尾向开头扫,如果 $p$ 恰好是一个询问的右端点,那么插入这个询问。然后看 $p$ 能完成哪些询问,完成后删除这些询问。
    • 插入:将 $r$ 到根的链分成若干条子链,在每条子链的深度最大的对应的位置插入这个询问,值是 $len(x)+l$,维护区间最大值和对应的询问编号。
    • 询问:查询 $p$ 到根的链上的最大询问,如果 $len(x)+l>p$,那么可以完成这个询问,直到不符合这个条件为止。
    • 坑:子链中的末端的那条不一定是完整的链,那么 $len(x)$ 可能会受到 $p$ 的限制($LCA(p,r)=p$,$r$ 在 $p$ 子树中),也可能受到 $r$ 的限制(其他情况),所以开了两个线段树分别考虑这两种情况。

这是 CF 上的某一份代码(链接 需要 Coach Mode 才能查看),可读性极佳:

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <set>
#include <queue>
#include <vector>

typedef std::pair<int, int> Info;

const int N = 400000 + 10;

int next[N][26], pre[N], len[N], tot = 1;

int append(int p, int c) {
int np = ++tot;
len[np] = len[p] + 1;
for (; p && !next[p][c]; p = pre[p]) next[p][c] = np;
if (!p) {
pre[np] = 1;
} else {
int q = next[p][c];
if (len[q] == len[p] + 1) {
pre[np] = q;
} else {
int nq = ++tot;
memcpy(next[nq], next[q], sizeof next[q]);
len[nq] = len[p] + 1;
pre[nq] = pre[q];
pre[q] = pre[np] = nq;
for (; p && next[p][c] == q; p = pre[p]) next[p][c] = nq;
}
}
return np;
}

std::vector<int> adj[N];

int n, m, id[N];

char s[N];

int dep[N], size[N], son[N], top[N], left[N], right[N], bfn[N];
int *const fa = pre;

void bfs() {
static int q[N];
q[1] = dep[1] = 1;
for (int i = 1, r = 1; i <= r; ++i) {
int a = q[i];
for (int j = 0; j < adj[a].size(); ++j) {
int b = adj[a][j];
dep[q[++r] = b] = dep[a] + 1;
}
}
for (int i = 1; i <= tot; ++i) size[i] = 1;
for (int i = tot; i > 1; --i) size[fa[q[i]]] += size[q[i]];
for (int i = 2; i <= tot; ++i) if (size[son[fa[i]]] < size[i]) son[fa[i]] = i;
for (int i = 1, cnt = 0; i <= tot; ++i) {
int a = q[i];
if (left[a]) continue;
for (int b = a; b; b = son[b]) bfn[left[b] = ++cnt] = b, top[b] = a;
for (int b = a; b; b = son[b]) right[b] = cnt;
}
}

class Seg {
inline int pos(int l, int r) { return (l + r) | (l != r); }

std::set<Info> heap[N];
Info max[2 * N];
public:
void modify(int l, int r, int p) {
int id = pos(l, r);
if (l == r) {
max[id] = (heap[p].empty() ? Info(0, 0) : *heap[p].rbegin());
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
if (p <= mid) modify(l, mid, p); else modify(mid + 1, r, p);
max[id] = std::max(max[pos(l, mid)], max[pos(mid + 1, r)]);
}

void modify(int p, const Info &v, bool flag) {
if (flag) heap[p].erase(v); else heap[p].insert(v);
modify(1, tot, p);
}

Info query(int l, int r, int p, int q) {
int id = pos(l, r);
if (p <= l && r <= q) return max[id];
int mid = (l + r) >> 1;
Info res(0, 0);
if (p <= mid) res = query(l, mid, p, q);
if (q > mid) res = std::max(res, query(mid + 1, r, p, q));
return res;
}
} seg[2];

Info query(int p) {
Info res(0, 0);
for (; p; p = fa[top[p]]) {
Info info = seg[1].query(1, tot, left[top[p]], left[p]);
res = std::max(res, info);
info = seg[0].query(1, tot, left[p], right[p]);
info.first += len[p];
res = std::max(res, info);
}
return res;
}

void modify(int p, const Info &v, bool flag = false) {
for (; p; p = fa[top[p]]) {
seg[0].modify(left[p], v, flag);
Info info = v;
info.first += len[p];
seg[1].modify(left[p], info, flag);
}
}

struct {
int l, r;
} q[N];

int ans[N];

int main() {
scanf("%d%d %s", &n, &m, s + 1);
id[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) id[i] = append(id[i - 1], s[i] - 'a');
for (int i = 2; i <= tot; ++i) adj[pre[i]].push_back(i);
bfs();
static std::vector<int> event[N];
for (int i = 1; i <= m; ++i) scanf("%d%d", &q[i].l, &q[i].r), event[q[i].r].push_back(i);
for (int i = n; i > 0; --i) {
do {
Info info = query(id[i]);
if (info.first <= i) break;
int j = info.second;
if (!ans[j]) ans[j] = i - q[j].l + 1;
modify(id[q[j].r], Info(q[j].l, j), true);
} while (1);
for (int j = 0; j < event[i].size(); ++j) {
int k = event[i][j];
modify(id[i], Info(q[k].l, k));
}
}
for (int i = 1; i <= m; ++i) printf("%d\n", ans[i]);
return 0;
}

解法 2

  • 见叉姐的《循环循环循》
  • 这题不补了。